(1) $\frac{11}{6}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。 (2) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\frac{11}{6}\pi$ の正弦、余弦、正接の値を求める。

(2) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{11}{6}\pi$ は、 $2\pi - \frac{\pi}{6}$ と表せる。したがって、$\frac{11}{6}\pi$ は第4象限の角である。

* $\sin\frac{11}{6}\pi = \sin(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$

* $\cos\frac{11}{6}\pi = \cos(2\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\tan\frac{11}{6}\pi = \tan(2\pi - \frac{\pi}{6}) = -\tan\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{3}$ の両辺を2乗する。

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\frac{2}{3})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \frac{4}{9}$

三角関数の相互関係より $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9} - 1 = -\frac{5}{9}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin\frac{11}{6}\pi = -\frac{1}{2}$

$\cos\frac{11}{6}\pi = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\frac{11}{6}\pi = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2)

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{5}{18}$