(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin\theta + 1 = 0$ を解け。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\frac{\sqrt{3}}{3} < \tan\theta \le \sqrt{3}$ を解け。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin\theta + 1 = 0$ を解け。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\frac{\sqrt{3}}{3} < \tan\theta \le \sqrt{3}$ を解け。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた方程式 $2\sin\theta + 1 = 0$ を $\sin\theta$ について解きます。

$2\sin\theta = -1$

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ を満たす $\theta$ を求めます。$\sin\theta$ が負になるのは、第3象限と第4象限です。

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ なので、

第3象限では $\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$

第4象限では $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

(2)

不等式 $\frac{\sqrt{3}}{3} < \tan\theta \le \sqrt{3}$ を解きます。

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \tan\frac{\pi}{6}$ であり、$\sqrt{3} = \tan\frac{\pi}{3}$ であることを利用します。

したがって、$\tan\frac{\pi}{6} < \tan\theta \le \tan\frac{\pi}{3}$ となります。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan\theta$ が定義できないのは、$\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ のときです。

$\tan\theta$ は周期 $\pi$ の関数なので、

$\frac{\pi}{6} < \theta \le \frac{\pi}{3}$ または $\pi + \frac{\pi}{6} < \theta \le \pi + \frac{\pi}{3}$ が解になります。

$\frac{\pi}{6} < \theta \le \frac{\pi}{3}$ より $\frac{\pi}{6} < \theta \le \frac{\pi}{3}$

$\pi + \frac{\pi}{6} < \theta \le \pi + \frac{\pi}{3}$ より $\frac{7\pi}{6} < \theta \le \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$

(2) $\frac{1}{6}\pi < \theta \le \frac{1}{3}\pi$ または $\frac{7}{6}\pi < \theta \le \frac{4}{3}\pi$