3次元極座標（球座標）において、直交座標 $(x, y, z)$ から極座標 $(r, \theta, \phi)$ への変換が与えられている。 $x = r \sin \theta \cos \phi$ $y = r \sin \theta \sin \phi$ $z = r \cos \theta$ このとき、$\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial \phi}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial z}$ を求める。

1. 問題の内容

3次元極座標（球座標）において、直交座標 $(x, y, z)$ から極座標 $(r, \theta, \phi)$ への変換が与えられている。

$x = r \sin \theta \cos \phi$

$y = r \sin \theta \sin \phi$

$z = r \cos \theta$

このとき、$\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial \phi}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial z}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた座標変換から、$r, \theta, \phi$ を $x, y, z$ で表す。

$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

$\tan \phi = \frac{y}{x} \Rightarrow \phi = \arctan \frac{y}{x}$

$\cos \theta = \frac{z}{r} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \Rightarrow \theta = \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

次に、これらの式を $x$ と $z$ で偏微分する。

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r} = \frac{r \sin \theta \cos \phi}{r} = \sin \theta \cos \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \arctan \frac{y}{x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2} = -\frac{r \sin \theta \sin \phi}{r^2 \sin^2 \theta} = -\frac{\sin \phi}{r \sin \theta}$

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})^2}} \cdot z (-\frac{1}{2}) (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{3}{2}} (2x) = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + z^2}}} \cdot \frac{xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{xz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{r}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{xz}{r^3} = \frac{xz}{r^2 \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r \cos \theta \cdot r \sin \theta \cos \phi}{r^2 r \sin \theta} = \frac{z x}{r^2 \sqrt{x^2+y^2}} = \frac{r\cos \theta r \sin \theta \cos \phi}{r^2 r \sin \theta} = \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} = \frac{z x}{(x^2 + y^2 + z^2)\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r \cos \theta \cdot r \sin \theta \cos \phi}{r^2 \cdot r\sin \theta} = \frac{\cos \theta \cos \phi}{r} = \frac{\cos \phi}{r}$

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \arccos \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}})^2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - z \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2}} (2z)}{x^2 + y^2 + z^2} = -\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{x^2 + y^2 + z^2 - z^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = - \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{r^2}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = - \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{r^2} = - \frac{r \sin \theta}{r^2} = - \frac{\sin \theta}{r}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial r}{\partial x} = \sin \theta \cos \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{\sin \phi}{r \sin \theta}$

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{\cos \theta \cos \phi}{r}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sin \theta}{r}$