放物線 $y = ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aの座標が$(-4, 8)$, 点Bのx座標が2のとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ の値を求める。 (2) 点Bの座標を求める。 (3) 直線 $l$ の式を求める。 (4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = ax^2$ と直線 $l$ が2点A, Bで交わっている。点Aの座標が$(-4, 8)$, 点Bのx座標が2のとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ の値を求める。

(2) 点Bの座標を求める。

(3) 直線 $l$ の式を求める。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点A $(-4, 8)$ は放物線 $y = ax^2$ 上にあるので、$x = -4$, $y = 8$ を代入して $a$ を求める。

$8 = a(-4)^2$

$8 = 16a$

$a = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

(2) 点Bのx座標は2であり、点Bは放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあるので、$x = 2$ を代入してy座標を求める。

$y = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$

したがって、点Bの座標は $(2, 2)$ である。

(3) 直線 $l$ は点A $(-4, 8)$ と点B $(2, 2)$ を通るので、直線の傾きを求める。

傾き $= \frac{2 - 8}{2 - (-4)} = \frac{-6}{6} = -1$

直線 $l$ の式を $y = -x + b$ とおき、点B $(2, 2)$ を代入して $b$ を求める。

$2 = -2 + b$

$b = 4$

したがって、直線 $l$ の式は $y = -x + 4$ である。

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。直線 $l$ とy軸の交点をCとすると、Cの座標は $(0, 4)$ である。$\triangle OAB$ の面積は、$\triangle OAC$ の面積と $\triangle OBC$ の面積の和で求められる。

$\triangle OAC$ の面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

$\triangle OBC$ の面積 $= \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

$\triangle OAB$ の面積 $= 8 + 4 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) 点Bの座標は $(2, 2)$

(3) 直線 $l$ の式は $y = -x + 4$

(4) $\triangle OAB$ の面積は 12