$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0$ が実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $(a-3)x^2 + 2(a+3)x + a+5 = 0$ が実数解を持つように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a-3=0$ のとき、つまり $a=3$ のとき、与えられた方程式は $2(3+3)x + 3+5 = 0$ となり、$12x + 8 = 0$ となるので、$x = -\frac{2}{3}$ となり、実数解を持つので、$a=3$ は解の範囲に含まれます。

次に、$a-3 \neq 0$ のとき、つまり $a \neq 3$ のとき、与えられた方程式は2次方程式なので、実数解を持つための条件は判別式 $D \geq 0$ であることです。

$D/4 = (a+3)^2 - (a-3)(a+5) \geq 0$

$a^2 + 6a + 9 - (a^2 + 5a - 3a - 15) \geq 0$

$a^2 + 6a + 9 - a^2 - 2a + 15 \geq 0$

$4a + 24 \geq 0$

$4a \geq -24$

$a \geq -6$

$a \neq 3$ なので、$a \geq -6$ かつ $a \neq 3$ です。

$a = 3$ の場合も実数解を持つので、$a \geq -6$ が最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

$a \geq -6$