与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

次に、$xS$ を書き出します。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n}$

$S - xS$ を計算します。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n})$

$S(1-x) = 1 + (4x-x) + (7x^2 - 4x^2) + (10x^3 - 7x^3) + \dots + ((3n-2)x^{n-1} - (3(n-1)-2)x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = 1 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

等比数列の和の公式 $x + x^2 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$ を用いると、

$S(1-x) = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = 1 + \frac{3x - 3x^n}{1-x} - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = \frac{1-x+3x-3x^n-(3n-2)x^n(1-x)}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1+2x-3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1+2x - 3nx^n + 2x^n + 3nx^{n+1} - 2x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1+2x - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1} - 3x^n +2x^n}{1-x}$

したがって、

$S = \frac{1+2x - (3n+1)x^n+(3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1+2x-(3n+1)x^n+(3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$