3次元極座標(球座標)から直交座標への変換が与えられています。 $x = r\sin\theta\cos\phi$ $y = r\sin\theta\sin\phi$ $z = r\cos\theta$ このとき、$\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial z}$を$x,y,z$を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

3次元極座標(球座標)から直交座標への変換が与えられています。

$x = r\sin\theta\cos\phi$

$y = r\sin\theta\sin\phi$

$z = r\cos\theta$

このとき、$\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial z}$を$x,y,z$を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$r$について、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$であるから、$\frac{\partial r}{\partial x}$は以下のようになります。

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \frac{x}{r}$

次に、$\tan\phi = \frac{y}{x}$であるから、$\phi = \arctan{\frac{y}{x}}$となります。よって、$\frac{\partial \phi}{\partial x}$は以下のようになります。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2 + y^2} \cdot (-\frac{y}{x^2}) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

次に、$z = r\cos\theta$より$\cos\theta = \frac{z}{r}$だから、$\theta = \arccos\frac{z}{r} = \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$となります。

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{z}{r})^2}} \cdot z \cdot (-\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{3}{2}}) \cdot 2x = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}}} \cdot \frac{zx}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{zx}{(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{zx}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{z}{r})^2}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2} - z \cdot \frac{2z}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}}{x^2+y^2+z^2} = -\frac{1}{\sqrt{1-\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}}} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = -\frac{y}{x^2 + y^2}$

$\frac{\partial \theta}{\partial x} = \frac{zx}{(x^2+y^2+z^2)\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2}$