(1) $\cos(5\theta)\sin(2\theta)$を2つの三角関数の和の形に直す問題です。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$のとき、関数 $y = \sqrt{7}\sin\theta + 3\cos\theta$の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) $\cos(5\theta)\sin(2\theta)$を2つの三角関数の和の形に直す問題です。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$のとき、関数 $y = \sqrt{7}\sin\theta + 3\cos\theta$の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角関数の積和の公式を使用します。

$2\cos A\sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$

この公式を適用するために、与えられた式に2をかけ、2で割ります。

$\cos(5\theta)\sin(2\theta) = \frac{1}{2} [2\cos(5\theta)\sin(2\theta)]$

$A = 5\theta$, $B = 2\theta$とおくと、

$\cos(5\theta)\sin(2\theta) = \frac{1}{2} [\sin(5\theta+2\theta) - \sin(5\theta-2\theta)]$

$\cos(5\theta)\sin(2\theta) = \frac{1}{2} [\sin(7\theta) - \sin(3\theta)]$

(2) 三角関数の合成を行います。$y = a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta+\alpha)$

ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$です。

$y = \sqrt{7}\sin\theta + 3\cos\theta$

$r = \sqrt{(\sqrt{7})^2 + 3^2} = \sqrt{7+9} = \sqrt{16} = 4$

したがって、$y = 4\sin(\theta+\alpha)$、ここで$\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$、$\sin\alpha = \frac{3}{4}$

$0 \le \theta < 2\pi$なので、$\theta+\alpha$もほぼ$2\pi$の範囲を動きます。

$\sin$の最大値は1、最小値は-1です。

最大値は$4 \times 1 = 4$

最小値は$4 \times (-1) = -4$

3. 最終的な答え

(1) $\cos(5\theta)\sin(2\theta) = \frac{1}{2}(\sin(7\theta) - \sin(3\theta))$

よって、1の解答欄は7, 2の解答欄は3

(2) 最大値: 4

最小値: -4

よって、3の解答欄は4, 4の解答欄は-, 5の解答欄は4

最終解答：

(1) 7, 3

(2) 最大値: 4, 最小値: -4