次の2つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

1. 問題の内容

次の2つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x}$ の解き方

$\cos \frac{1}{x}$ は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。つまり、

$-1 \le \cos \frac{1}{x} \le 1$

が成り立ちます。

この不等式の各辺に $x$ をかけると、

$-|x| \le x \cos \frac{1}{x} \le |x|$

となります。

ここで、$x \to 0$ のとき、$-|x| \to 0$ かつ $|x| \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$

となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ の解き方

$\sin x$ は $-1$ から $1$ の間の値を取ります。つまり、

$-1 \le \sin x \le 1$

が成り立ちます。

この不等式の各辺を $x$ で割ると、$x>0$なので、

$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$

となります。

ここで、$x \to \infty$ のとき、$-\frac{1}{x} \to 0$ かつ $\frac{1}{x} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x} = 0$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$