以下の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n}$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を $5^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{2}{5})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 - (\frac{2}{5})^n}{1 + (\frac{2}{5})^n} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

(2) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 2^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \{ (\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n \}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{4}{3})^n \to \infty$ で $(\frac{2}{3})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \{ (\frac{4}{3})^n - (\frac{2}{3})^n \} = \infty$

(3) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot 2^n}{3^n - 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (\frac{2}{3})^n}{1 - (\frac{2}{3})^n}$

$n \to \infty$ のとき $(\frac{2}{3})^n \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (\frac{2}{3})^n}{1 - (\frac{2}{3})^n} = \frac{2 \cdot 0}{1 - 0} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\infty$

(3) 0