次の関数の最大値、最小値を求めます。 (1) $f(x) = \tan x (-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2})$ (2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x (2 \le x \le 8)$

1. 問題の内容

次の関数の最大値、最小値を求めます。

(1) $f(x) = \tan x (-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2})$

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x (2 \le x \le 8)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \tan x (-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2})$

$\tan x$ は $-\frac{\pi}{4} \le x < \frac{\pi}{2}$ で増加関数です。

$x = -\frac{\pi}{4}$ のとき、$f(-\frac{\pi}{4}) = \tan (-\frac{\pi}{4}) = -1$

$x$ が $\frac{\pi}{2}$ に近づくとき、$f(x) = \tan x$ は正の無限大に発散します。

したがって、$\tan x$ は最大値を持ちません。

(2) $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x (2 \le x \le 8)$

$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ は底が$\frac{1}{2}$ (< 1) なので、減少関数です。

$x = 2$ のとき、$f(2) = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$

$x = 8$ のとき、$f(8) = \log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-3}) = -3$

したがって、最大値は $-1$、最小値は $-3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $-1$、最大値: なし

(2) 最大値: $-1$、最小値: $-3$