全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{x | x \text{ は } 8 \text{ の正の約数}\}$ と $B = \{x | x \text{ は偶数}, 1 \le x \le 8\}$ について、次の集合を要素を書き並べて表せ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ の部分集合 $A = \{x | x \text{ は } 8 \text{ の正の約数}\}$ と $B = \{x | x \text{ は偶数}, 1 \le x \le 8\}$ について、次の集合を要素を書き並べて表せ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$ と $B$ の要素を書き出す。

$A = \{1, 2, 4, 8\}$

$B = \{2, 4, 6, 8\}$

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、

$A \cap B = \{2, 4, 8\}$

(2) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合なので、

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 8\}$

(3) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、全体集合 $U$ から $A$ の要素を取り除いたもの。

$\overline{A} = \{3, 5, 6, 7\}$

したがって、$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分なので、

$\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、全体集合 $U$ から $A \cup B$ の要素を取り除いたもの。

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{3, 5, 7\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 4, 8\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{3, 5, 7\}$