全体集合 $U = \{n \mid 1 \le n \le 9, n \text{ は自然数}\}$ が与えられています。 $A \cap B = \{3, 7\}$、 $A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$、 $\overline{A} \cap B = \{9\}$ が与えられたとき、 集合 $A$, $B$, $\overline{A \cup B}$ を求めます。
2025/5/7
1. 問題の内容
全体集合 が与えられています。
、
、
が与えられたとき、
集合 , , を求めます。
2. 解き方の手順
まず、全体集合を明示すると です。
より、 と は と の両方に含まれます。
より、 は に含まれ、 には含まれません。
より、 または に含まれる要素は です。
より と は少なくとも と を要素として含む。
より であり 。
より または の要素は のみである。
かつ なので は を要素に持ち、 は持たない。
また , , , である。
であり、 であり、 であることから、 と はどちらか一方にのみ属する。
もし であれば、 は なので、 は を含まなくてはならない。
このとき、, となる。
このとき 、, となり、 と矛盾。
よって であり である。
したがって , である。
このとき、、、 より 。
集合 AとBは、 , のとき、, ,
よって、,
最後に、 を求めます。
なので、 です。