放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通り、かつその頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通り、かつその頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるとき、定数 $a, b$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、放物線が点 $(-2, 5)$ を通るという条件から、$a$ と $b$ の関係式を導きます。

次に、放物線の頂点の座標を $a$ を用いて表し、その頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にあるという条件から、別の $a$ と $b$ の関係式を導きます。

最後に、これらの2つの関係式から $a$ と $b$ の値を求めます。

ステップ1: 点 $(-2, 5)$ を通る条件

放物線 $y = x^2 + 2ax + b$ が点 $(-2, 5)$ を通るので、$x = -2, y = 5$ を代入すると、

$5 = (-2)^2 + 2a(-2) + b$

$5 = 4 - 4a + b$

$b = 4a + 1$ (1)

ステップ2: 頂点の座標を求める

放物線の式を平方完成すると、

$y = x^2 + 2ax + b = (x + a)^2 - a^2 + b$

したがって、頂点の座標は $(-a, -a^2 + b)$ となります。

ステップ3: 頂点が直線 $y = -x + 3$ 上にある条件

頂点 $(-a, -a^2 + b)$ が直線 $y = -x + 3$ 上にあるので、

$-a^2 + b = -(-a) + 3$

$-a^2 + b = a + 3$ (2)

ステップ4: $a$ と $b$ の値を求める

(1)式を(2)式に代入すると、

$-a^2 + (4a + 1) = a + 3$

$-a^2 + 4a + 1 = a + 3$

$a^2 - 3a + 2 = 0$

$(a - 1)(a - 2) = 0$

$a = 1, 2$

$a = 1$ のとき、(1)式より $b = 4(1) + 1 = 5$

$a = 2$ のとき、(1)式より $b = 4(2) + 1 = 9$

3. 最終的な答え

したがって、$a, b$ の値の組は

$(a, b) = (1, 5), (2, 9)$