全体集合 $U = \{n | 1 \leq n \leq 9, n は自然数\}$ が与えられている。 集合 $A$ と $B$ について、以下の情報が与えられている： $A \cap B = \{3, 7\}$ $A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ $\overline{A} \cap B = \{9\}$ このとき、集合 $A$, $B$, および $\overline{A} \cup B$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{n | 1 \leq n \leq 9, n は自然数\}$ が与えられている。

集合 $A$ と $B$ について、以下の情報が与えられている：

$A \cap B = \{3, 7\}$

$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$

$\overline{A} \cap B = \{9\}$

このとき、集合 $A$, $B$, および $\overline{A} \cup B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

* まず、$A$ を求める。$A \cap B = \{3, 7\}$ より、$3$ と $7$ は $A$ に含まれる。

また、$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ より、$A$ と $B$ のどちらか一方または両方に $2, 3, 6, 7, 9$ が含まれる。

$\overline{A} \cap B = \{9\}$ より、$9 \in B$ であり、$9 \notin A$ である。

したがって、$A \cup B$ から $9$ を除いた集合 $\{2, 3, 6, 7\}$ の要素は、$A$ に含まれる可能性がある。

$\overline{A} \cap B = \{9\}$ より、$9$ は $B$ に含まれるが、$A$ には含まれない。

$A \cap B = \{3, 7\}$ より、$3$ と $7$ は $A$ に含まれる。

したがって、$A$ に含まれる可能性のある要素は、$2, 3, 6, 7$ である。

$A = \{2, 3, 6, 7\}$ と仮定すると、$A \cap B = \{3, 7\}$ が成り立つ。

この仮定のもとで、$B$ を求める。

* 次に、$B$ を求める。$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ であり、$A = \{2, 3, 6, 7\}$ より、$B = (A \cup B) \setminus (A \setminus B)$ である。

$A \cup B$ に含まれるが $A$ に含まれない要素は $9$ である。

$A \cap B = \{3, 7\}$ なので、$B = \{3, 7, 9\}$ である。

$A \cap B = \{3, 7\}$ なので、$3 \in A$, $7 \in A$, $3 \in B$, $7 \in B$

$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ なので、$2 \in A$ または $2 \in B$, $6 \in A$ または $6 \in B$, $9 \in A$ または $9 \in B$

$\overline{A} \cap B = \{9\}$ なので、$9 \notin A$, $9 \in B$

$A = \{2, 3, 6, 7\}$ と仮定すると、$A \cup B = \{2, 3, 6, 7, 9\}$ より、$B$ は $9$ を含み、$2, 3, 6, 7$ は $A$ と $B$ のいずれかに含まれる。

$A \cap B = \{3, 7\}$ より、$3, 7 \in A \cap B$

したがって、$B = \{3, 7, 9\}$

* 最後に、$\overline{A} \cup B$ を求める。$\overline{A} = U \setminus A = \{1, 4, 5, 8, 9\}$

$\overline{A} \cup B = \{1, 4, 5, 8, 9\} \cup \{3, 7, 9\} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

$A = \{2, 3, 6, 7\}$

$B = \{3, 7, 9\}$

$\overline{A} \cup B = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$