集合 $A$ は10以下の自然数、集合 $B$ は24の正の約数、集合 $C$ は18の正の約数である。このとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。 (1) $A \cap B \cap C$ (2) $A \cup B \cup C$ (3) $(A \cap B) \cup C$ (4) $(A \cup B) \cap C$

1. 問題の内容

集合 $A$ は10以下の自然数、集合 $B$ は24の正の約数、集合 $C$ は18の正の約数である。このとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。

(1) $A \cap B \cap C$

(2) $A \cup B \cup C$

(3) $(A \cap B) \cup C$

(4) $(A \cup B) \cap C$

2. 解き方の手順

まず、集合 $A$, $B$, $C$ の要素を書き出す。

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

$C = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$

次に、それぞれの集合を求める。

(1) $A \cap B \cap C$ は、$A$, $B$, $C$ すべてに含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

$(A \cap B) \cap C = \{1, 2, 3, 6\}$

よって、 $A \cap B \cap C = \{1, 2, 3, 6\}$

(2) $A \cup B \cup C$ は、$A$, $B$, $C$ の少なくとも1つに含まれる要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 24\}$

$(A \cup B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 24\}$

よって、$A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 24\}$

(3) $(A \cap B) \cup C$ を求める。

$A \cap B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$

$(A \cap B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\} \cup \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 18\}$

よって、$(A \cap B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 18\}$

(4) $(A \cup B) \cap C$ を求める。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 24\}$

$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 24\} \cap \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} = \{1, 2, 3, 6, 9\}$

よって、$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 6, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B \cap C = \{1, 2, 3, 6\}$

(2) $A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 24\}$

(3) $(A \cap B) \cup C = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 18\}$

(4) $(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 6, 9\}$