(1) 異なる6色の球を使って首飾りを作る方法は何通りあるか。 (2) 立方体の6面を以下の色で塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、隣り合う面は全て異なる色を塗るものとする。 (i) 赤、白、黒、緑、青、橙 の6色 (ii) 赤、白、黒、緑、青 の5色

1. 問題の内容

(1) 異なる6色の球を使って首飾りを作る方法は何通りあるか。

(2) 立方体の6面を以下の色で塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、隣り合う面は全て異なる色を塗るものとする。

(i) 赤、白、黒、緑、青、橙 の6色

(ii) 赤、白、黒、緑、青 の5色

2. 解き方の手順

(1) 首飾りの場合、円順列を考慮し、さらに裏返すことができるため、以下の手順で計算します。

1. 6個の球を円形に並べる順列の総数を求める。これは $(6-1)! = 5!$ 通り。

2. 首飾りは裏返せるので、同じものが2回数えられている。よって、2で割る。

(2) 立方体の塗り分けについて

(i) 6色の場合：

1. まず、底面の色を固定します。6色から1色を選ぶので6通り。

2. 次に、上面の色を決めます。底面の色と異なる色なので5通り。

3. 側面の4つの面は、残りの4色を円順列で並べることになります。これは $(4-1)! = 3! = 6$通り。

4. 立方体を上下逆さまにしても同じ塗り方になることはないので、回転だけを考えます。

5. よって、総数は $6 \times 5 \times 6$ 通り。

(ii) 5色の場合：

1. 隣り合う面は全て異なる色を塗る必要があるため、6面を5色で塗り分けることはできません。なぜなら、必ずどこかの頂点において同じ色が隣り合ってしまうからです。

3. 最終的な答え

(1) $(6-1)! / 2 = 5! / 2 = 120 / 2 = 60$通り

(2) (i) $6 \times 5 \times 3! = 6 \times 5 \times 6 = 180$通り

(2) (ii) 0通り