ある放物線を、$x$軸に関して対称移動し、次に$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動してから、再び$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y = x^2$が得られた。最初の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

ある放物線を、$x$軸に関して対称移動し、次に$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動してから、再び$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y = x^2$が得られた。最初の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

最終的に得られた放物線$y=x^2$から逆算して、最初の放物線の方程式を求める。

(1) 最後に$x$軸に関して対称移動して$y=x^2$になったので、その前の放物線は$y$を$-y$に置き換えたもの、すなわち

$-y = x^2$

$y = -x^2$

(2) その前に、$x$軸方向に$-2$、$y$軸方向に$3$だけ平行移動したので、その前の放物線は、$x$を$x+2$、$y$を$y-3$に置き換えたもの、すなわち

$y - 3 = -(x+2)^2$

$y = -(x+2)^2 + 3$

(3) 最初に$x$軸に関して対称移動したので、その前の放物線は、$y$を$-y$に置き換えたもの、すなわち

$-y = -(x+2)^2 + 3$

$y = (x+2)^2 - 3$

3. 最終的な答え

$y = (x+2)^2 - 3$