与えられた多項式を因数分解せよ： $9x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2$

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解せよ：

$9x^4 - 4x^2 + 8xy - 4y^2$

2. 解き方の手順

まず、与えられた多項式を整理し、平方の差の形に持ち込めるか検討します。

$9x^4$ は $(3x^2)^2$ と見なせます。後ろの項を整理すると、

$9x^4 - (4x^2 - 8xy + 4y^2)$

となります。括弧の中は $(2x-2y)^2 = 4(x-y)^2$ になります。したがって、

$9x^4 - 4(x-y)^2 = (3x^2)^2 - [2(x-y)]^2$

これは、平方の差の形 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用できます。

$a=3x^2$, $b=2(x-y) = 2x-2y$ とすると、

$[3x^2 + 2(x-y)][3x^2 - 2(x-y)]$

$=(3x^2 + 2x - 2y)(3x^2 - 2x + 2y)$

したがって、因数分解の結果は $(3x^2 + 2x - 2y)(3x^2 - 2x + 2y)$ となります。

3. 最終的な答え

$(3x^2 + 2x - 2y)(3x^2 - 2x + 2y)$