整式 $P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ると余りが $2x - 1$、 $x^2 - 2x - 8$ で割ると余りが $x - 2$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ を $x^2 - x - 2$ で割ると余りが $2x - 1$、 $x^2 - 2x - 8$ で割ると余りが $x - 2$ であるとき、$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、条件を数式で表す。

$P(x) = (x^2 - x - 2)Q_1(x) + 2x - 1$

$P(x) = (x^2 - 2x - 8)Q_2(x) + x - 2$

ここで、$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$、$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$、$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ と因数分解できる。

$P(x)$ を $x^2 + 3x + 2$ で割ったときの余りを $ax + b$ とおくと、

$P(x) = (x^2 + 3x + 2)Q_3(x) + ax + b = (x + 1)(x + 2)Q_3(x) + ax + b$

が成り立つ。

$x = -1$ のとき、

$P(-1) = 2(-1) - 1 = -3$

$P(-1) = a(-1) + b = -a + b$

したがって、 $-a + b = -3$

$x = -2$ のとき、

$P(-2) = -2 - 2 = -4$

$P(-2) = a(-2) + b = -2a + b$

したがって、 $-2a + b = -4$

連立方程式

$-a + b = -3$

$-2a + b = -4$

を解く。

2式を引き算すると、

$(-a + b) - (-2a + b) = -3 - (-4)$

$a = 1$

$-1 + b = -3$

$b = -2$

よって、余りは $x - 2$

3. 最終的な答え

$x - 2$