問題は、式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を計算し、その結果を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を計算し、その結果を求めることです。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

したがって、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

式を因数分解できるか考えます。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$