次の4つの式を因数分解する問題です。 (1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$ (2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ (3) $x^4 - 3x^2 - 4$ (4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

1. 問題の内容

次の4つの式を因数分解する問題です。

(1) $2x^3 - 12x^2y + 18xy^2$

(2) $4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$

(3) $x^4 - 3x^2 - 4$

(4) $(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、共通因数でくくります。

$2x^3 - 12x^2y + 18xy^2 = 2x(x^2 - 6xy + 9y^2)$

次に、$x^2 - 6xy + 9y^2$を因数分解します。これは$(x-3y)^2$となります。

よって、$2x(x^2 - 6xy + 9y^2) = 2x(x-3y)^2$

(2)

$4x^2 + y^2 - z^2 - 4xy$ の項を並び替えて、$(2x-y)^2$ の形を作り出します。

$4x^2 - 4xy + y^2 - z^2 = (2x - y)^2 - z^2$

これは、二乗の差の形をしているので、$(A^2 - B^2 = (A+B)(A-B))$ を利用して因数分解します。

$(2x-y)^2 - z^2 = (2x - y + z)(2x - y - z)$

(3)

$x^4 - 3x^2 - 4$ を因数分解します。$x^2 = A$ と置くと、

$A^2 - 3A - 4$ となります。

この式は $(A-4)(A+1)$ と因数分解できます。

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$ となります。

さらに、$x^2 - 4$ は二乗の差なので $(x-2)(x+2)$ と因数分解できます。

よって、$(x-2)(x+2)(x^2+1)$

(4)

$(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2$ を展開します。

$(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)$

$a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 - a^2d^2 - 2abcd - b^2c^2$

$2abcd$ の項が打ち消し合うので、

$a^2c^2 + b^2d^2 - a^2d^2 - b^2c^2$ となります。

$a^2(c^2 - d^2) - b^2(c^2 - d^2)$

$(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)$

さらに、$a^2 - b^2$ と $c^2 - d^2$ は二乗の差なので因数分解できます。

$(a - b)(a + b)(c - d)(c + d)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(x-3y)^2$

(2) $(2x - y + z)(2x - y - z)$

(3) $(x-2)(x+2)(x^2+1)$

(4) $(a - b)(a + b)(c - d)(c + d)$