$S = \sin\theta(1-\cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

1. 問題の内容

$S = \sin\theta(1-\cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

ここで、$u = \sin\theta$、$v = (1-\cos\theta)$ とする。

まず、$u = \sin\theta$ を $\theta$ で微分すると、

$u' = \frac{d}{d\theta} \sin\theta = \cos\theta$

次に、$v = (1-\cos\theta)$ を $\theta$ で微分すると、

$v' = \frac{d}{d\theta}(1-\cos\theta) = 0 - (-\sin\theta) = \sin\theta$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ に $u, v, u', v'$ を代入すると、

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} [\sin\theta(1-\cos\theta)] = (\cos\theta)(1-\cos\theta) + (\sin\theta)(\sin\theta)$

$= \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ なので、

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + (1 - \cos^2\theta) = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

3. 最終的な答え

$\frac{dS}{d\theta} = 1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta$