関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ ($x > 0$) の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

1. まず、$y = x^{\frac{1}{x}}$ の両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln(x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x = \frac{\ln x}{x}$

2. 次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$

4. $\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を求めます。$x>0$ より、$x^{\frac{1}{x}} > 0$、$x^2 > 0$ なので、$1 - \ln x = 0$ となる $x$ を求めます。

$\ln x = 1$

$x = e$

5. $\frac{dy}{dx}$ の符号を調べます。

- $0 < x < e$ のとき、$\ln x < 1$ なので、$1 - \ln x > 0$ となり、$\frac{dy}{dx} > 0$ です。

- $x > e$ のとき、$\ln x > 1$ なので、$1 - \ln x < 0$ となり、$\frac{dy}{dx} < 0$ です。

6. $x = e$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号が正から負に変わるので、$x = e$ で極大値を取ります。

7. $x = e$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = e^{\frac{1}{e}}$

3. 最終的な答え

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ は $x = e$ で極大値 $e^{\frac{1}{e}}$ を取ります。