関数 $y = x^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{2}{3}}$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{2}{3}}$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分して $y'$ を求めます。

$y = x^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{\frac{2}{3}}$

$y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1 - x)^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}}\frac{2}{3}(1 - x)^{-\frac{1}{3}}(-1)$

$y' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}(1 - x)^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3}x^{\frac{1}{3}}(1 - x)^{-\frac{1}{3}}$

$y' = \frac{(1 - x)^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3(1 - x)^{\frac{1}{3}}}$

$y' = \frac{(1 - x) - 2x}{3x^{\frac{2}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}}}$

$y' = \frac{1 - 3x}{3x^{\frac{2}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}}}$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\frac{1 - 3x}{3x^{\frac{2}{3}}(1 - x)^{\frac{1}{3}}} = 0$

$1 - 3x = 0$

$x = \frac{1}{3}$

$y'$ が存在しない $x$ を求めます。

$x = 0$ および $x = 1$ のとき、$y'$ は定義されません。

増減表を作成します。

| x | 0 | | 1/3 | | 1 |

| :--- | :- | :---- | :-- | :---- | :- |

| y' | | + | 0 | - | |

| y | 0 | 増加 | | 減少 | 0 |

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$y = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}(1 - \frac{1}{3})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}}(\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

$x = 0$ のとき、$y = 0$

$x = 1$ のとき、$y = 0$

増減表から、$x = \frac{1}{3}$ で極大値 $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ をとり、$x=0, x=1$で極小値0をとる。

3. 最終的な答え

極大値：$x = \frac{1}{3}$ のとき、$y = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

極小値：$x = 0$ および $x = 1$ のとき、$y = 0$