関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{x} + x$ の凹凸を調べ、変曲点を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $y$ の第1次導関数 $y'$ と第2次導関数 $y''$ を計算します。

$y = x^{\frac{1}{3}} + x$ より、

$y' = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} + 1 = \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} + 1$

$y'' = \frac{1}{3} (-\frac{2}{3}) x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9} x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{9x^{\frac{5}{3}}}$

(2) 第2次導関数 $y''$ の符号を調べます。$y''=0$となる $x$ は存在しません。

$x>0$ のとき、$y'' < 0$ なので、上に凸。

$x<0$ のとき、$y'' > 0$ なので、下に凸。

(3) 第2次導関数の符号が変わる $x$ が変曲点の候補となります。$x=0$ の前後で $y''$ の符号が変わるので、$x=0$ が変曲点の候補です。

$x=0$ のとき、$y = \sqrt[3]{0} + 0 = 0$ より、変曲点の候補は $(0, 0)$ です。

(4) $x=0$ の前後で $y''$ の符号が変わることを確認したので、$(0, 0)$ は変曲点です。

3. 最終的な答え

凹凸:

$x > 0$ で上に凸

$x < 0$ で下に凸

変曲点:

$(0, 0)$