関数 $y = (\tan x)^{\sin x}$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = (\tan x)^{\sin x}$ ($0 < x < \frac{\pi}{2}$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \ln (\tan x)^{\sin x} = \sin x \ln (\tan x)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln (\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \ln (\tan x) + \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right) = (\tan x)^{\sin x} \left( \cos x \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$

3. 最終的な答え

$y' = (\tan x)^{\sin x} \left(\cos x \log(\tan x) + \frac{1}{\cos x}\right)$