$S = \sin\theta (1 - \cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

1. 問題の内容

$S = \sin\theta (1 - \cos\theta)$ を $\theta$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

積の微分公式を使用します。

積の微分公式は、$(uv)' = u'v + uv'$ です。

ここで、$u = \sin\theta$、$v = (1 - \cos\theta)$ とおくと、

$u' = \cos\theta$

$v' = \sin\theta$

したがって、$S$ の $\theta$ に関する微分は、

$\frac{dS}{d\theta} = u'v + uv' = \cos\theta (1 - \cos\theta) + \sin\theta \sin\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta$

三角関数の恒等式 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + 1 - \cos^2\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

$\frac{dS}{d\theta} = 1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta$

3. 最終的な答え

$\frac{dS}{d\theta} = 1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta$