(1) 等式 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を証明する。 (2) 不等式 $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ を証明する。

1. 問題の内容

(1) 等式 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を証明する。

(2) 不等式 $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1)

左辺を展開する。

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 = 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$

右辺を展開する。

$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca$

左辺と右辺が等しいことを示す。

(2)

不等式を変形する。

$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

両辺に2をかける。

$2a^2+2b^2+2c^2 \ge 2ab+2bc+2ca$

移項して、

$2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$

式を整理する。

$(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2) \ge 0$

$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$

二乗の和は常に0以上なので、この不等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 = 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ は成り立つ。

(2) $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ は成り立つ。