$S = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta$ を $\theta$ について微分せよ。

1. 問題の内容

$S = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta$ を $\theta$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $\theta$ について微分します。

$S = \sin\theta - \sin\theta\cos\theta$

まず、$\sin\theta$ の微分は $\cos\theta$ です。

次に、$\sin\theta\cos\theta$ の微分は積の微分法を使って計算します。積の微分法は $(uv)' = u'v + uv'$ であり、ここで $u = \sin\theta$ と $v = \cos\theta$ とします。

$u' = \frac{d}{d\theta}(\sin\theta) = \cos\theta$

$v' = \frac{d}{d\theta}(\cos\theta) = -\sin\theta$

したがって、$(\sin\theta\cos\theta)' = (\cos\theta)(\cos\theta) + (\sin\theta)(-\sin\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$

よって、$S$ の微分は以下のようになります。

$\frac{dS}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}(\sin\theta) - \frac{d}{d\theta}(\sin\theta\cos\theta)$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - (\cos^2\theta - \sin^2\theta)$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + \sin^2\theta$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - \cos^2\theta + 1 - \cos^2\theta$

$\frac{dS}{d\theta} = \cos\theta - 2\cos^2\theta + 1$

$\frac{dS}{d\theta} = 1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta$

3. 最終的な答え

$1 + \cos\theta - 2\cos^2\theta$