与えられた式を計算し、簡単にしてください。式は $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡単にしてください。式は $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するには、分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}$

次に、これらの結果を加えます。

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{2}$