画像に記載された4つの問題を解きます。 (1) $-24x \div (\frac{4}{3}x)^2 \times (-4x^3)$ を計算する。 (2) $x = \sqrt{3} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 3$ を計算する。 (3) $2(x-1)^2 - 10x - 38$ を因数分解する。 (4) $(2+\sqrt{3})^2 - \frac{6}{\sqrt{3}}$ を計算する。

1. 問題の内容

画像に記載された4つの問題を解きます。

(1) $-24x \div (\frac{4}{3}x)^2 \times (-4x^3)$ を計算する。

(2) $x = \sqrt{3} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 3$ を計算する。

(3) $2(x-1)^2 - 10x - 38$ を因数分解する。

(4) $(2+\sqrt{3})^2 - \frac{6}{\sqrt{3}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $-24x \div (\frac{4}{3}x)^2 \times (-4x^3)$ の計算

まず、$(\frac{4}{3}x)^2$ を計算します。

$(\frac{4}{3}x)^2 = \frac{16}{9}x^2$

次に、割り算を掛け算に変換します。

$-24x \div \frac{16}{9}x^2 = -24x \times \frac{9}{16x^2} = -\frac{24 \times 9}{16} \times \frac{x}{x^2} = -\frac{3 \times 9}{2} \times \frac{1}{x} = -\frac{27}{2x}$

最後に、掛け算を行います。

$-\frac{27}{2x} \times (-4x^3) = \frac{27 \times 4}{2} \times \frac{x^3}{x} = 27 \times 2 \times x^2 = 54x^2$

(2) $x = \sqrt{3} + 2$ のとき、$x^2 - 4x + 3$ の計算

$x^2 - 4x + 3$ に $x = \sqrt{3} + 2$ を代入します。

$(\sqrt{3} + 2)^2 - 4(\sqrt{3} + 2) + 3 = (3 + 4\sqrt{3} + 4) - (4\sqrt{3} + 8) + 3 = 7 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} - 8 + 3 = 7 - 8 + 3 = 2$

(3) $2(x-1)^2 - 10x - 38$ の因数分解

まず、式を展開します。

$2(x^2 - 2x + 1) - 10x - 38 = 2x^2 - 4x + 2 - 10x - 38 = 2x^2 - 14x - 36$

次に、共通因数でくくります。

$2(x^2 - 7x - 18)$

括弧内を因数分解します。

$x^2 - 7x - 18 = (x - 9)(x + 2)$

よって、$2(x-1)^2 - 10x - 38 = 2(x - 9)(x + 2)$

(4) $(2+\sqrt{3})^2 - \frac{6}{\sqrt{3}}$ の計算

まず、$(2+\sqrt{3})^2$ を計算します。

$(2+\sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

次に、$\frac{6}{\sqrt{3}}$ を計算します。

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

最後に、引き算を行います。

$7 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 7 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $54x^2$

(2) 2

(3) $2(x - 9)(x + 2)$

(4) $7 + 2\sqrt{3}$