(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$ を解け。ただし、$\frac{2}{3}\pi < \frac{4}{5}\pi$とする。 (2) $0 \le \theta < \pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3} \cos\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、$\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$ を解け。ただし、$\frac{2}{3}\pi < \frac{4}{5}\pi$とする。

(2) $0 \le \theta < \pi$ のとき、関数 $y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3} \cos\theta$ の最大値、最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

2倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いると、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta = 1 - 2(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2})^2$

$\frac{1}{2}(1-2\sin^2\theta) + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2}(1 - 2\sin^2 \theta) + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2}\cos 2\theta = \frac{1}{2}(1-2\sin^2\theta)$

$\frac{1}{2} - \sin^2 \theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$-\sin^2\theta + \sin^2\frac{\theta}{2} = 0$

半角の公式 $\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2}$を用いる。

$-\sin^2\theta + \frac{1-\cos\theta}{2} = 0$

$2\sin^2 \frac{\theta}{2} = 1-\cos\theta$

$\frac{1}{2}\cos2\theta + \sin^2\frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2}(1-2\sin^2\theta) + \frac{1-\cos\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2} - \sin^2\theta + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos\theta - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2} - \sin^2\theta - \frac{1}{2}\cos\theta = 0$

$1-2\sin^2\theta - \cos\theta = 0$

$1-2(1-\cos^2\theta) - \cos\theta = 0$

$1-2+2\cos^2\theta - \cos\theta = 0$

$2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$

$(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - 1) = 0$

$\cos\theta = 1$ または $\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\cos\theta = 1$ のとき、$\theta = 0$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

したがって、$\theta = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(2)

$y = 2\sin\theta - 2\sqrt{3} \cos\theta$

$y = 4(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos\theta)$

$y = 4(\sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3})$

$y = 4\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

$0 \le \theta < \pi$ より、$-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < \frac{2}{3}\pi$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$ の最大値は1 ($\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ すなわち $\theta = \frac{5}{6}\pi$)

最小値は $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($\theta - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ すなわち $\theta = 0$)

最大値: $4(1) = 4$

最小値: $4(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(2) 最大値: 4

最小値: $-2\sqrt{3}$