複素数平面上の3点O(0), A(-1+2i), Bについて、三角形OABがAを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるとき、点Bを表す複素数を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点O(0), A(-1+2i), Bについて、三角形OABがAを直角の頂点とする直角二等辺三角形となるとき、点Bを表す複素数を求める。

2. 解き方の手順

三角形OABがAを直角の頂点とする直角二等辺三角形であるという条件から、以下の2つの条件が成り立つ必要があります。

* $\angle OAB = 90^\circ$

* $OA = AB$

この条件を複素数で表現します。点A, B, Oの表す複素数をそれぞれ$\alpha, \beta, 0$とすると、

$\alpha = -1 + 2i$です。

$\angle OAB = 90^\circ$より、$\frac{\beta - \alpha}{0 - \alpha}$は純虚数となります。つまり、

$\frac{\beta - \alpha}{-\alpha} = \pm i$

となります。

また、$OA = AB$より、

$|\alpha - 0| = |\beta - \alpha|$

$|\alpha| = |\beta - \alpha|$

$\frac{\beta - \alpha}{-\alpha} = i$の場合、

$\beta - \alpha = -i\alpha$

$\beta = \alpha - i\alpha = (1 - i)\alpha = (1-i)(-1+2i) = -1 + 2i + i - 2i^2 = -1 + 3i + 2 = 1 + 3i$

$\frac{\beta - \alpha}{-\alpha} = -i$の場合、

$\beta - \alpha = i\alpha$

$\beta = \alpha + i\alpha = (1 + i)\alpha = (1+i)(-1+2i) = -1 + 2i - i + 2i^2 = -1 + i - 2 = -3 + i$

$|\alpha| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

$|\beta - \alpha|$を確認します。

$\beta = 1 + 3i$の場合、

$\beta - \alpha = (1+3i) - (-1+2i) = 2 + i$

$|\beta - \alpha| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

$\beta = -3 + i$の場合、

$\beta - \alpha = (-3+i) - (-1+2i) = -2 - i$

$|\beta - \alpha| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$

したがって、どちらの$\beta$も条件を満たします。

3. 最終的な答え

$1 + 3i$ または $-3 + i$