2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めます。 (1) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ (2) $\alpha^3 + \beta^3$ (3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、次の式の値を求めます。

(1) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha\beta = \frac{c}{a}$

今回の場合は、$a=2$, $b=-4$, $c=1$ なので、

$\alpha + \beta = -\frac{-4}{2} = 2$

$\alpha\beta = \frac{1}{2}$

(1) $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ を求めます。

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha\beta = \frac{1}{2}$ および $\alpha + \beta = 2$ を代入すると、

$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$

(2) $\alpha^3 + \beta^3$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2\beta + 3\alpha\beta^2 + \beta^3 = \alpha^3 + \beta^3 + 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

$\alpha + \beta = 2$ および $\alpha\beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\alpha^3 + \beta^3 = 2^3 - 3 \times \frac{1}{2} \times 2 = 8 - 3 = 5$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ を求めます。

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta}$

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha + \beta = 2$ および $\alpha\beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 4 - 1 = 3$

よって、

$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 3 \times 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 5

(3) 6