$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$ を解け。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、 $\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて、 $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表します。

$\frac{1}{2} \cos 2\theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$ に $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を代入すると、

$\frac{1}{2} (1 - 2\sin^2 \theta) + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$\frac{1}{2} - \sin^2 \theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{2} = 0$

$- \sin^2 \theta + \sin^2 \frac{\theta}{2} = 0$

$\sin^2 \frac{\theta}{2} = \sin^2 \theta$

ここで、半角の公式 $\sin^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos \theta}{2}$ を用いると、

$\frac{1 - \cos \theta}{2} = \sin^2 \theta$

$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \theta$

$1 - \cos \theta = 2(1 - \cos^2 \theta)$

$1 - \cos \theta = 2 - 2\cos^2 \theta$

$2\cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0$

$(\cos \theta - 1)(2\cos \theta + 1) = 0$

よって、 $\cos \theta = 1$ または $\cos \theta = -\frac{1}{2}$

$\cos \theta = 1$ のとき、 $0 \le \theta < 2\pi$ より $\theta = 0$

$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ のとき、$0 \le \theta < 2\pi$ より $\theta = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$