$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$のとき、次の値を求めよ。 (1) $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z$ (2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

1. 問題の内容

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$のとき、次の値を求めよ。

(1) $z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z$

(2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

2. 解き方の手順

(1)

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ より、ド・モアブルの定理から $z^n = \cos\frac{2n}{7}\pi + i\sin\frac{2n}{7}\pi$ である。

また、$z^7 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$ である。

$z^7 - 1 = 0$ を因数分解すると、

$(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1) = 0$

$z \neq 1$ より、$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1 = 0$

したがって、$z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z = -1$

(2)

$\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z} = \frac{(1-z) + (1-z^6)}{(1-z^6)(1-z)} = \frac{2-z-z^6}{1-z-z^6+z^7}$

$z^7 = 1$ を代入すると、

$\frac{2-z-z^6}{1-z-z^6+1} = \frac{2-z-z^6}{2-z-z^6} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $-1$

(2) $1$