与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x = a^3$、$y = b^3$ と置いて、式を書き換える。

$$x^2 + 26xy - 27y^2$$

次に、この式を因数分解する。

$$-27 = -1 * 27 = -27 * 1 = -3 * 9 = -9 * 3$$

26になる組み合わせは、27と-1なので、$x^2 + 26xy - 27y^2$ は以下のように因数分解できる。

$$x^2 + 26xy - 27y^2 = (x - y)(x + 27y)$$

最後に、$x = a^3$、$y = b^3$を代入する。

$$(a^3 - b^3)(a^3 + 27b^3)$$

それぞれの括弧の中身を因数分解する。

$a^3 - b^3$ は、$(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ と因数分解できる。

$a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3$ は、$(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$ と因数分解できる。

したがって、

$$(a^3 - b^3)(a^3 + 27b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$$

3. 最終的な答え

$(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)$