放物線 $y = 2x^2 + 6x$ を平行移動した曲線で、以下の条件を満たす二次関数を求めます。 (1) 2点 (1, -4), (2, 0) を通る。 (2) 点 (1, 3) を通り、その頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 + 6x$ を平行移動した曲線で、以下の条件を満たす二次関数を求めます。

(1) 2点 (1, -4), (2, 0) を通る。

(2) 点 (1, 3) を通り、その頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にある。

2. 解き方の手順

(1) 平行移動した放物線は $y = 2x^2 + 6x$ の $x$ を $x-p$ に、$y$ を $y-q$ に置き換えて得られます。

$y - q = 2(x-p)^2 + 6(x-p)$

$y = 2(x-p)^2 + 6(x-p) + q$

$y = 2(x^2 - 2px + p^2) + 6x - 6p + q$

$y = 2x^2 - 4px + 2p^2 + 6x - 6p + q$

$y = 2x^2 + (-4p + 6)x + (2p^2 - 6p + q)$

2点 (1, -4), (2, 0) を通るので、代入します。

$-4 = 2(1)^2 + (-4p + 6)(1) + (2p^2 - 6p + q)$

$0 = 2(2)^2 + (-4p + 6)(2) + (2p^2 - 6p + q)$

整理すると、

$-4 = 2 - 4p + 6 + 2p^2 - 6p + q$

$0 = 8 - 8p + 12 + 2p^2 - 6p + q$

$2p^2 - 10p + q + 12 = 0$ (1)

$2p^2 - 14p + q + 20 = 0$ (2)

(2) - (1) より

$-4p + 8 = 0$

$4p = 8$

$p = 2$

(1) に代入すると

$2(2)^2 - 10(2) + q + 12 = 0$

$8 - 20 + q + 12 = 0$

$q = 0$

したがって、放物線は

$y = 2(x-2)^2 + 6(x-2)$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 6x - 12$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 6x - 12$

$y = 2x^2 - 2x - 4$

(2) 頂点が直線 $y = 2x - 3$ 上にあるので、頂点の座標を $(p, 2p - 3)$ とします。

放物線は点 (1, 3) を通るので、

$y = 2(x - p)^2 + 2p - 3$ と表せます。

点 (1, 3) を代入すると

$3 = 2(1 - p)^2 + 2p - 3$

$3 = 2(1 - 2p + p^2) + 2p - 3$

$3 = 2 - 4p + 2p^2 + 2p - 3$

$2p^2 - 2p - 4 = 0$

$p^2 - p - 2 = 0$

$(p - 2)(p + 1) = 0$

$p = 2, -1$

$p = 2$ のとき、頂点の座標は (2, 1) なので

$y = 2(x - 2)^2 + 1$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 1$

$y = 2x^2 - 8x + 9$

$p = -1$ のとき、頂点の座標は (-1, -5) なので

$y = 2(x + 1)^2 - 5$

$y = 2(x^2 + 2x + 1) - 5$

$y = 2x^2 + 4x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 2x - 4$

(2) $y = 2x^2 - 8x + 9$ または $y = 2x^2 + 4x - 3$