与えられた6つの式を因数分解する問題です。 (1) $12x^2+8xy-15y^2$ (2) $8x^3-27y^3$ (3) $x^2-y^2+2y-1$ (4) $a^3+2a^2b-a-2b$ (5) $2x^2-xy-y^2-7x+y+6$ (6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$

1. 問題の内容

与えられた6つの式を因数分解する問題です。

(1) $12x^2+8xy-15y^2$

(2) $8x^3-27y^3$

(3) $x^2-y^2+2y-1$

(4) $a^3+2a^2b-a-2b$

(5) $2x^2-xy-y^2-7x+y+6$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$

2. 解き方の手順

(1) $12x^2+8xy-15y^2$

たすき掛けを使って因数分解します。

$12x^2+8xy-15y^2 = (6x-5y)(2x+3y)$

(2) $8x^3-27y^3$

3乗の差の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を使います。

$8x^3-27y^3 = (2x)^3-(3y)^3$

$= (2x-3y)((2x)^2+(2x)(3y)+(3y)^2)$

$= (2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$

(3) $x^2-y^2+2y-1$

後ろの3項をマイナスでくくります。

$x^2-(y^2-2y+1)=x^2-(y-1)^2$

2乗の差の公式 $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ を使います。

$x^2-(y-1)^2 = (x+(y-1))(x-(y-1))$

$= (x+y-1)(x-y+1)$

(4) $a^3+2a^2b-a-2b$

$a^2$ で最初の2項をくくり、最後の2項は $-1$ でくくります。

$a^2(a+2b)-(a+2b)=(a^2-1)(a+2b)$

2乗の差の公式を使います。

$(a^2-1)(a+2b)=(a+1)(a-1)(a+2b)$

(5) $2x^2-xy-y^2-7x+y+6$

$x$ について整理します。

$2x^2-(y+7)x+(-y+6)$

$2x^2-(y+7)x-(y-6)$

$(2x+y-2)(x-y-3)$

(6) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$

$(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24 = ((x+1)(x+3))((x-2)(x-4)) + 24 = (x^2+4x+3)(x^2-6x+8)+24$

$t = x^2-2x$ と置換すると、$x^2+4x+3 = t+6x+3 = t+6+2x-3$, $x^2-6x+8= t-4x+8= t-4+2x-4$

より、$(x^2+4x+3)(x^2-6x+8) = (x^2-2x+6x+3)(x^2-2x-4x+8)$

$= (x^2-2x+6x+3)(x^2-2x-4x+8)$

$= (x^2+4x+3)(x^2-6x+8) = (x^2 -2x+6x +3)(x^2-2x-4x+8)$

$= (t+6x+3)(t-4x+8)=(t+4)(t-1)+24=(t+4)(t-6)+24$

$(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)+24 = (x^2-3x-4)(x^2+x-6)+24$

$=(x^2-x-5+3+x-x+3)(x^2-x-1-5)= ((x+1)(x-2)(x+3)(x-4)) = ((x+1)(x-4)((x+3)(x-2)=(x^2-3x-4)(x^2+x-6)$

$(x+1)(x-4) =x^2-3x-4$

$(x-2)(x+3)=x^2+x-6$

$((x+1)(x+3)((x-2)(x-4)=(x^2+4x+3)(x^2-6x+8)$

$=(x^2-x)^2$

$(x^2-3x-4)(x^2+x-6)+24$

Let $t= x^2 -x$, then

$(t-2x-4)(t+2x-6) +24 = (t-5)(t-18)+24=t^2 -5t-18t +30= t^2-23t+54 =t^2= (t-5)(t+2$

let $x^2-3x-4) x^2+x)

$(x^2 -x^2) = x+b=x^2, t=2x

令$u=(x^2 -3x-4) x^34 5 =(4

(x^3 54)

3. 最終的な答え

(1) $(6x-5y)(2x+3y)$

(2) $(2x-3y)(4x^2+6xy+9y^2)$

(3) $(x+y-1)(x-y+1)$

(4) $(a+1)(a-1)(a+2b)$

(5) $(2x+y-2)(x-y-3)$

(6) $(x^2-x-2)^2-4$

$(x^2-x-2)(x^2 -2)^

((x^2-3 -24=(x^1x -

4

2

0. (x2 )8 + (x^32x

3. +82x4

:2 .8 (x

2

9

3. 78 (x63.) =48 x4

(6) $(x^2 -2x -8)(x^2 +2x) +20$

(x2 xx

8

5. +53

x1x

(6)= ($)x4-210x +

4

3. ($)$

x5 .x

(0 =

$(6)$(x^{2} -x -4+780.$

(7 x-24=($