与えられた式 $(a+b)c^2 + (c+a)^2 + 2abc$ を展開し、整理して簡単な形にすることを目標とします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)c^2 + (c+a)^2 + 2abc$ を展開し、整理して簡単な形にすることを目標とします。

2. 解き方の手順

まず、$(c+a)^2$ を展開します。

$(c+a)^2 = c^2 + 2ac + a^2$

次に、与えられた式にこの結果を代入します。

$(a+b)c^2 + (c+a)^2 + 2abc = (a+b)c^2 + c^2 + 2ac + a^2 + 2abc$

次に、$(a+b)c^2$ を展開します。

$(a+b)c^2 = ac^2 + bc^2$

これを代入して式を整理します。

$ac^2 + bc^2 + c^2 + 2ac + a^2 + 2abc = a^2 + ac^2 + bc^2 + c^2 + 2ac + 2abc$

式を整理してまとめられる項がないか確認します。

$a^2 + c^2 + ac^2 + bc^2 + 2ac + 2abc$

式を因数分解して整理することも試みますが、これ以上簡単になりそうにありません。

$(a+b)c^2 + (c+a)^2 + 2abc = (a+b)c^2 + c^2 + 2ac + a^2 + 2abc = ac^2 + bc^2 + c^2 + 2ac + a^2 + 2abc$

$= a^2+ c^2 + ac^2 + bc^2 + 2ac + 2abc$

$= a^2+ c^2 + c^2(a + b) + 2ac + 2abc$

$=a^2 + 2ac + c^2 + c^2(a+b) + 2abc$

$= (a+c)^2 + c^2(a+b) + 2abc$

元の式に間違いがないか確認します。

$(a+b)c^2 + (c+a)^2 + 2abc$

$= ac^2 + bc^2 + c^2 + 2ac + a^2 + 2abc$

$= a^2 + ac^2 + bc^2 + c^2 + 2ac + 2abc$

$= a^2 + c^2 + 2ac + ac^2 + bc^2 + 2abc$

$= (a+c)^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

3. 最終的な答え

$a^2 + c^2 + ac^2 + bc^2 + 2ac + 2abc = (a+c)^2 + ac^2 + bc^2 + 2abc$

または

$a^2 + c^2 + c^2(a + b) + 2ac + 2abc$