与えられた分数の足し算 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}$ を計算して、結果を最も簡単な形で表す。

1. 問題の内容

与えられた分数の足し算 $\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}$ を計算して、結果を最も簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

ステップ1: 分母を揃える。

2つの分数の分母はそれぞれ $x+1$ と $x-1$ なので、共通の分母は $(x+1)(x-1)$ となります。各分数に、共通の分母を作るために必要な分母と分子を掛けます。

$\frac{1}{x+1}$ に $\frac{x-1}{x-1}$ を掛けます。

$\frac{2}{x-1}$ に $\frac{x+1}{x+1}$ を掛けます。

すると、式は次のようになります。

$\frac{1(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

ステップ2: 分子を展開し、分母を共通化します。

$\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x+2}{(x-1)(x+1)}$

ステップ3: 分子を足し合わせます。

$\frac{(x-1) + (2x+2)}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{x - 1 + 2x + 2}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{3x + 1}{(x+1)(x-1)}$

ステップ4: 分母を展開します。

$\frac{3x+1}{x^2 - 1}$

3. 最終的な答え

$\frac{3x+1}{x^2 - 1}$