$S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1}$

## 問題 (2)

1 + 2 * 2 + 2 * $2^2$ + ... + 2 * $2^{n-1}$ を求めよ。

## 解き方の手順

1. 与えられた数列の和を $S$ とおく。

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1}$

2. 2項以降は等比数列なので、等比数列の和の公式を利用して計算する。$2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} = 2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1})$

初項2、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和を求める。

等比数列の和の公式は $a(r^n - 1)/(r-1)$ なので、

$2(2 + 2^2 + \dots + 2^{n-1}) = 2 \cdot \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 4(2^{n-1} - 1)$

3. $S$ に1を足して、計算する。

$S = 1 + 4(2^{n-1} - 1) = 1 + 4 \cdot 2^{n-1} - 4 = 2^2 \cdot 2^{n-1} - 3 = 2^{n+1} - 3$

## 最終的な答え

$2^{n+1} - 3$

## 問題 (3)

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$ の和を求めよ。

## 解き方の手順

1. 与えられた数列の和を $S$ とおく。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. $2S$ を計算する。

$2S = 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^4 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n}$

3. $S - 2S$ を計算する。

$S - 2S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 2 + (5-3) \cdot 2^2 + (7-5) \cdot 2^3 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^{n}$

4. 括弧の中の等比数列の和を計算する。

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1)$

5. 計算を進める。

$-S = 1 + 2 \cdot 2(2^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 4(2^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 1 + 4 \cdot 2^{n-1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 2^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 2^{n}$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^{n} + 2^{n}$

$-S = 2 \cdot 2^{n} + 2^{n} - 3 - 2n \cdot 2^{n}$

$-S = 3 \cdot 2^{n} - 3 - 2n \cdot 2^{n}$

$-S = (3 - 2n) 2^n - 3$

$S = (2n - 3) 2^n + 3$

## 最終的な答え

$(2n - 3) 2^n + 3$