2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x^2 - 2x + 1) + 1 = (x - 1)^2 + 1$

この式から、頂点の座標は $(1, 1)$ であることがわかります。

この2次関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = 1$ です。

定義域 $0 \le x \le 3$ の範囲で最大値と最小値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、これは定義域に含まれています。したがって、最小値は $x = 1$ のときに $y = 1$ となります。

次に、最大値を求めます。

定義域の両端の値を調べます。

$x = 0$ のとき、$y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき、$y = (3 - 1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

したがって、最大値は $x = 3$ のときに $y = 5$ となります。

3. 最終的な答え

最大値は 5 ($x = 3$ のとき)

最小値は 1 ($x = 1$ のとき)