$a$ は定数とする。 $|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件となるような正の整数 $a$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。 $|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件となるような正の整数 $a$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

$|x-3|<6$ を解くと、

$-6 < x-3 < 6$

$-6+3 < x < 6+3$

$-3 < x < 9$

$|x-2| < a$ を解くと、

$-a < x-2 < a$

$-a+2 < x < a+2$

$|x-3|<6$ が $|x-2| < a$ の必要条件であるということは、

$\{x|-3 < x < 9\} \supseteq \{x|-a+2 < x < a+2\}$

が成り立つということである。

これは、

$-3 \le -a+2$ かつ $a+2 \le 9$

を満たすことと同値である。

$-3 \le -a+2$ より、$a \le 5$

$a+2 \le 9$ より、$a \le 7$

したがって、$a \le 5$

正の整数 $a$ の最大値は $5$ である。

3. 最終的な答え

5