与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。与えられた行列を $A$ とすると、 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の逆行列を求める問題です。与えられた行列を $A$ とすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、いくつかの方法がありますが、ここでは余因子行列を使った方法で解きます。

(1) 行列式 $|A|$ を計算する。

$|A| = 1((-1)(1) - (2)(-1)) - 2((-1)(1) - (2)(2)) + (-1)((-1)(-1) - (-1)(2))$

$= 1(-1 + 2) - 2(-1 - 4) - 1(1 + 2) = 1(1) - 2(-5) - 1(3) = 1 + 10 - 3 = 8$

$|A| = 8$

(2) 余因子行列 $C$ を求める。

$C_{11} = (-1)^{1+1} ((-1)(1) - (2)(-1)) = 1$

$C_{12} = (-1)^{1+2} ((-1)(1) - (2)(2)) = -1(-1 - 4) = 5$

$C_{13} = (-1)^{1+3} ((-1)(-1) - (-1)(2)) = 1(1 + 2) = 3$

$C_{21} = (-1)^{2+1} ((2)(1) - (-1)(-1)) = -1(2 - 1) = -1$

$C_{22} = (-1)^{2+2} ((1)(1) - (-1)(2)) = 1(1 + 2) = 3$

$C_{23} = (-1)^{2+3} ((1)(-1) - (2)(2)) = -1(-1 - 4) = 5$

$C_{31} = (-1)^{3+1} ((2)(2) - (-1)(-1)) = 1(4 - 1) = 3$

$C_{32} = (-1)^{3+2} ((1)(2) - (-1)(-1)) = -1(2 - 1) = -1$

$C_{33} = (-1)^{3+3} ((1)(-1) - (2)(-1)) = 1(-1 + 2) = 1$

$C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ -1 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 余因子行列の転置行列（adjugate行列） $C^T$ を求める。

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/8 & -1/8 & 3/8 \\ 5/8 & 3/8 & -1/8 \\ 3/8 & 5/8 & 1/8 \end{pmatrix}$