(3) 2点 $A(1, 2)$ と $B(9, -6)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点の座標を求めます。 (ア) 線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点 $P$ (イ) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点 $Q$ (4) 3点 $A(0, 1)$, $B(-2, 5)$, $C(5, 6)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の重心 $G$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

(3) 2点 $A(1, 2)$ と $B(9, -6)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点の座標を求めます。

(ア) 線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点 $P$

(イ) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点 $Q$

(4) 3点 $A(0, 1)$, $B(-2, 5)$, $C(5, 6)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の重心 $G$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(3)(ア) 線分 $AB$ を $1:3$ に内分する点 $P$ の座標を求めるには、内分点の公式を使用します。

$P = (\frac{3A_x + 1B_x}{1+3}, \frac{3A_y + 1B_y}{1+3}) = (\frac{3(1) + 1(9)}{4}, \frac{3(2) + 1(-6)}{4})$

(3)(イ) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点 $Q$ の座標を求めるには、外分点の公式を使用します。

$Q = (\frac{-3A_x + 2B_x}{2-3}, \frac{-3A_y + 2B_y}{2-3}) = (\frac{-3(1) + 2(9)}{-1}, \frac{-3(2) + 2(-6)}{-1})$

(4) 三角形 $ABC$ の重心 $G$ の座標を求めるには、各頂点の座標の平均を計算します。

$G = (\frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}) = (\frac{0 + (-2) + 5}{3}, \frac{1 + 5 + 6}{3})$

3. 最終的な答え

(3)(ア)

$P = (\frac{3+9}{4}, \frac{6-6}{4}) = (\frac{12}{4}, \frac{0}{4}) = (3, 0)$

$P = (3, 0)$

(3)(イ)

$Q = (\frac{-3+18}{-1}, \frac{-6-12}{-1}) = (\frac{15}{-1}, \frac{-18}{-1}) = (-15, 18)$

$Q = (-15, 18)$

(4)

$G = (\frac{0 - 2 + 5}{3}, \frac{1 + 5 + 6}{3}) = (\frac{3}{3}, \frac{12}{3}) = (1, 4)$

$G = (1, 4)$