三角形ABCにおいて、$a=20$, $b=13$, $c=11$のとき、 (1) 三角形ABCの面積を求める。 (2) 内接円の半径$r$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=20$, $b=13$, $c=11$のとき、

(1) 三角形ABCの面積を求める。

(2) 内接円の半径$r$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。ヘロンの公式を利用する。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2}$を計算する。

$s = \frac{20+13+11}{2} = \frac{44}{2} = 22$

次に、ヘロンの公式を用いて面積$S$を計算する。

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$S = \sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)} = \sqrt{22(2)(9)(11)} = \sqrt{2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$

(2) 内接円の半径$r$を求める。

三角形の面積$S$と内接円の半径$r$の関係式 $S = rs$ を利用する。

$S = 66$ であり、$s = 22$ であるから、

$66 = 22r$

$r = \frac{66}{22} = 3$

3. 最終的な答え

(1) 三角形ABCの面積: 66

(2) 内接円の半径: 3