$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ の最大値と、そのときの $\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 \le \theta < 2\pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$

となる $R$ と $\alpha$ を求める。

$R\cos\alpha = \sqrt{3}$

$R\sin\alpha = 1$

両辺をそれぞれ2乗して足し合わせると、

$R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 3 + 1$

$R^2 = 4$

$R = 2$

したがって、

$2\cos\alpha = \sqrt{3}$

$2\sin\alpha = 1$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{1}{2}$

これらの条件を満たす $\alpha$ は、 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ である。

したがって、

$\sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ の最大値は1であるから、$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ の最大値は2である。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$ となるとき、

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$は整数）

$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2n\pi$

$\theta = \frac{3\pi - \pi}{6} + 2n\pi$

$\theta = \frac{2\pi}{6} + 2n\pi$

$\theta = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

条件 $0 \le \theta < 2\pi$ を満たす $\theta$ は、$n=0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

最大値は2であり、そのときの $\theta$ の値は $\frac{\pi}{3}$ である。