$\cos\alpha = \frac{3}{4}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) のとき、$\tan2\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\cos\alpha = \frac{3}{4}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) のとき、$\tan2\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\alpha$ を求めます。$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ なので、

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ のとき $\sin\alpha > 0$ なので、

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

次に、$\tan\alpha$ を求めます。$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ なので、

$\tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$

最後に、$\tan2\alpha$ を求めます。$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$ なので、

$\tan2\alpha = \frac{2\left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3}}{1 - \frac{7}{9}} = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3}}{\frac{2}{9}} = \frac{2\sqrt{7}}{3} \times \frac{9}{2} = 3\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$3\sqrt{7}$